一个连续的空间。你在一张"诚实"的网格上拖动箭头——它能拉伸、能错切，却永不撕裂——并亲身体会每个概念为何必然出现：一支箭头无法接起多段旅程，于是有了加法；追踪无穷多点毫无希望，于是有了矩阵；被压扁的空间无法还原，于是有了逆矩阵及其局限。没有凭空抛出的定义，也不需要代数基础：只凭空间直觉，按顺序，从第一支箭头一路走到奇异值分解。为好奇的十岁孩子而建；也足够一个数学学位的严谨。
指点很含糊；不如记下一条精确的“走多远、朝哪走”的指令——于是箭头诞生了。
一支箭头只到一个点；把箭头首尾相接，再用一个数把它拉伸——向量的加法与数乘由此诞生。
给每个点都留一支箭头是没指望的——把每一处都写成两支主箭头的配方，基就此诞生。
当两支主箭头暗中做着同一份活，整个世界就塌缩成一条线——于是我们要追问：哪些主角才真正物尽其用。
追踪无穷多个点是不可能的——但网格作为整体移动，所以只需记录 î 和 ĵ 落在哪里。那张表就是矩阵。
只知道基向量箭头落在哪里，一个点会去往何处？在新的列上重跑它的配方——这就是矩阵乘向量。
每次都手动先做动作 A 再做动作 B 太浪费——把它们烘焙成一条记录，并发现顺序不能交换。
我们能移动空间，却说不出移得有多剧烈——于是测量单位正方形变换前后的面积。那个数就是行列式。
当行列式归零，整个空间被压扁到一条直线上，不同的点叠到同一处——信息永远丢失。
用 M 形变空间，再按“撤销”——M⁻¹ 是完美逆转它的那一步。只有当 det ≠ 0 时它才存在。
你只看得到点最终落在哪里——所以求解 M·x = b，就是把机器倒着运行，找出恰好到达目标的那组列的配方。
一次变换可能压扁空间——那么哪些目的地仍可到达（列空间），哪些箭头被压成了零（零空间）？它们的大小就是秩。
配方能放置点，却说不出长度或夹角——所以为了问"这些箭头一致吗？"，我们发明了一个数：点积。
我们想要直线上离它最近的点，于是把任意箭头拆成沿直线方向的一部分和与之恰成直角的一部分——这就是正交投影。
3D 中的两支箭头变出一个同时垂直于二者的全新方向，其长度等于它们张成薄片的面积——这就是叉积。
点从不移动——但在一套倾斜的基向量里，它的地址成了另一套配方。基变换就是两套坐标系之间忠实的翻译官。
大多数变换看起来像混乱——所以我们去寻找那些罕见的箭头：变换拒绝把它们撞离自己的直线，只是按 λ 拉伸它们。
沿着自身的特征向量看，纠缠的变换变成了纯粹的拉伸——所以重复 n 次就化作了乘以 λⁿ。
把矩阵强制成对称，它的两条特征线总在完美的直角处相交——这就是谱定理，也是接下来奇异值分解将赋予每个矩阵的那副干净骨架。
大多数真实的变换没有干净的特征向量箭头——所以把任意矩阵拆成三个干净的步骤：旋转、沿正交干净坐标轴缩放、再旋转。