ひとつながりの空間です。伸び縮みやせん断はできても決して破れない「正直な」格子の上で矢印をドラッグし、それぞれの概念がなぜ必要になるのかを体感します。矢印1本では旅をつなげないので加法が現れ、無限の点は追えないので行列が現れ、つぶれた空間は元に戻せないので逆行列とその限界が現れます。天下り式の定義はなく、代数の予備知識も不要。空間的な直感だけで、最初の矢印から特異値分解まで順番に進みます。好奇心旺盛な10歳のために作られ、数学科にも通用する厳密さです。
指し示すだけではあいまいです。「どれだけ・どちらへ」という正確な指示を記録しましょう——こうして矢印が生まれます。
1本の矢印は1つの点にしか届きません。矢印を頭と尾でつなぎ、数で伸ばす——こうして加法とスカラー倍が生まれます。
すべての点に矢印を1本ずつ用意するのは無理です——あらゆる場所を2本のマスター矢印のレシピで表せば、基底が生まれます。
2本のマスター矢印がひそかに同じ仕事をしていると、世界全体が1本の線へ崩れます——だからこそ、どのマスターが本当に役目を果たすのかを問います。
無限個の点は追えません——でも格子は一体で動くので、î と ĵ の着地点だけ記録します。その表が行列です。
基底矢印の着地点だけが分かっているとき、1つの点はどこへ行くのでしょう？新しい列の上でレシピをたどります——これが行列とベクトルの積です。
毎回 A の動き、次に B の動きを手作業でやるのは無駄です——1つの記録にまとめ、順番は入れ替えられないことを発見しましょう。
空間を動かせても、その激しさは言えません——そこで単位正方形の面積を変換の前後で測ります。その1つの数が行列式です。
行列式が零になると、空間全体が1本の直線につぶれ、異なる点が同じ場所に重なります——情報は永遠に失われます。
M で空間を変形し、「元に戻す」を押す——M⁻¹ はそれを完全に逆転させる変換です。det ≠ 0 のときにだけ存在します。
見えるのは点が着地した場所だけです——だから M·x = b を解くとは、機械を逆向きに走らせ、目標に到達する列のレシピを見つけることです。
変換は空間をつぶすことがあります——では、どこにまだ到達できて（列空間）、どの矢印がゼロに押しつぶされるのか（零空間）？その大きさが階数です。
レシピは点を置けても、長さや角度は語れません——だから「この矢印たちは一致しているか？」を問うために、1つの数、内積を発明します。
直線上で最も近い点が欲しい——そこで任意の矢印を、沿う成分と完全な直角をなす成分とに分けます。これが正射影です。
3D の2本の矢印が、両方に垂直なまったく新しい方向を生み出します。その長さは2本が張る薄片の面積——これが外積です。
点は決して動きません——でも傾いた基底のもとでは、その住所は別のレシピになります。基底変換は、2つの座標系をつなぐ忠実な翻訳者です。
ほとんどの変換は混沌に見えます——だからこそ、変換が自分の直線から外せず、λ の分だけ伸ばすだけの稀な矢印を探します。
もつれた変換も、その固有の矢印に沿って見れば純粋な伸縮になります——だから n 回の繰り返しは λⁿ を掛けることに変わります。
行列を対称にすると、2本の固有線はつねに完全な直角で交わります——これがスペクトル定理であり、次に特異値分解がすべての行列に与えるきれいな骨格です。
ほとんどの実際の変換には綺麗な固有ベクトルの矢印がありません——だから、どんな行列も3つの素直なステップに分解します：回転、直交する綺麗な軸に沿った拡大縮小、回転。